4.1節 離散分布の基礎
著者:梅谷 武
語句:無限直積,δ測度,母関数,確率母関数
可算個の確率空間列に対する無限直積を定義する。無限試行列の確率空間はこれにより構成される。一次元離散分布がδ測度を使って表現できることを述べる。確率母関数で平均や分散が計算できることを述べる。
作成:2012-01-19
更新:2021-04-03
4.1 離散分布の基礎
4.1.1 無限直積
 確率空間列(Ωn,Fn,μn), n ∈ ℕにおいて、
Ω ≡
∞
∏
n = 1
Ωn
F ≡ lc48 A = E ×
∞
∏
i = n + 1
Ωi
 mid48 E ∈
n
∏
i = 1
Fi
, n ≧ 1 rc48
とおくと、FはΩ上の有限加法族となる。
A = E ×
∞
∏
i = n + 1
Ωi
 ∈ F
に対し、
m(A) ≡ (μ1×⋯×μn)(E)
と定めると、mはF上の有限加法的測度となる。

補題4.1.1.2

 mはF上完全加法的である。

証明

演習とする。■

定理4.1.1.4

 mはσ[F]上の確率測度として一意的に拡張できる。

証明

演習とする。■

定義4.1.1.6 無限直積

 上のようにして構成された確率空間
lb72
∞
∏
n = 1
Ωn
,
∞
∏
n = 1
Fn
,
∞
∏
n = 1
μn
 rb72
を確率空間列(Ωn,Fn,μn), n ∈ ℕの無限直積むげんちょくせき, infinite productという。
4.1.2 一次元離散分布

定義4.1.2.1 δ測度

 可測空間(ℝ,B1)上のδ測度でるたそくど, δ measureを次のように定義する。a ∈ ℝ, A ∈ B1に対して
δa(A) = lc72
1,
a
∈
A
0,
a
∉
A
 δ測度δaの分布関数はHeaviside関数Yaである。
Ya(x) = lc72
1,
x
≧
a
0,
x
＜
a
 δ測度δaの平均と分散は次のようになる。
m =
∫ 
 
ℝ
xδa(dx)
 = a, σ2 =
∫ 
 
ℝ
(x － a)2δa(dx)
 = 0

命題4.1.2.4 一次元離散分布

 可測空間(ℝ,B1)上の一次元分布μが離散分布であるための必要十分条件は位置を表わす実数列{an}とその位置の確率を表わす正数列{pn}
pn ＞ 0,
 
∑
n
pn
 = 1
が存在して次が成り立つことである。
μ =
 
∑
n
pn δan

証明

演習とする。■

命題4.1.2.6

 可測空間(ℝ,B1)上の一次元離散分布{μn}, μが同じ実数列{ak}上のみに不連続点をもつとき、任意のakについて
 
lim
n → ∞
μn({ak})
 = μ({ak})
が成り立てば、{μn}はμに弱収束する。

証明

演習とする。■
4.1.3 確率母関数
 一般に無限級数
∞
∑
k = 0
ak
,  ak ∈ ℂ
が与えられたとき、形式的冪級数
∞
∑
k = 0
ak xk
をその母関数ぼかんすう, generating functionという。形式的冪級数については『整数論事始』第3章を参照のこと。
 無限級数として一次元離散分布を定める実数列を考えれば、それは正項級数であり、和が1となる。 したがって、その母関数の収束半径は1以上であり、アーベルの定理により[0,1]で一様収束し、項別微分可能となる。

定義4.1.3.3 確率母関数

 非負整数値のみをとる確率変数Xの分布を次のように表わすとき
μX =
∞
∑
k = 0
pk δk
形式的冪級数
fX(x) ≡
∞
∑
k = 0
pk xk
を確率母関数かくりつぼかんすう, probability generating functionという。

命題4.1.3.4

 確率母関数fX(x)は[0,1]で一様収束し、項別微分可能である。

証明

演習とする。■

命題4.1.3.6

 非負整数値のみをとる確率変数Xについて次が成り立つ。
(ⅰ) E[X] = fX'(1)
(ⅱ) V[X] = fX''(1) － fX'(1)2 ＋ fX'(1)

証明

演習とする。■

命題4.1.3.8

 非負整数値のみをとる独立確率変数X,Yについて次が成り立つ。
fX+Y(x) = fX(x) ∙ fY(x)

証明

演習とする。■
4.1.4 参考文献
[1] 高木 貞治, 解析概論 改訂第3版, 岩波書店, 2010
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数　　学
無限直積 むげんちょくせき, infinite product
δ測度 でるたそくど, δ measure
母関数 ぼかんすう, generating function
確率母関数 かくりつぼかんすう, probability generating function