AとBを等しい量とし、Cは任意の量とする。このとき、AとBの各々はCに対して同じ比をもち、CはAとBの各々に対して同じ比をもつと主張する。

 D、EをA、Bの等倍とし、FはCの任意の倍数の倍量とする。

 D、EはA、Bの等倍で、AはBに等しいから、DもEに等しい。Fは任意の量であるから、DとFの大小及び相等関係とEとFの大小及び相等関係は一致する。D、EはA、Bの等倍で、FはCの任意の倍数の倍量であったから、A対CとB対Cは等しい[定義DV-5]。

 同じようにして、同じ構成でFとDの大小及び相等関係とFとEの大小及び相等関係は一致する。D、EはA、Bの等倍で、FはCの任意の倍数の倍量であったから、C対AとC対Bは等しい[定義DV-5]。

 ゆえに、等しい量は同じ量に対して同じ比をもち、後者は前二者に対して同じ比をもつ。

系

 これらのことから、比例する量の組において、逆比も比例することは明らかである。 これが証明すべきことであった。

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 四つの量α,β,γ,δにおいて次が成り立つ。