命題V-10

著者:Ευκλείδης(J.L.Heiberg, Ed.)

命題V-10 同じ量に対してより大きい比をもつ量はより大きく、同じ量からの比がより大きい量はより小さい。

作成:2006-09-24
更新:2011-03-10

Τῶν πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἐχόντων τὸ μείζονα λόγον ἔχον ἐκεῖνο μεῖζόν ἐστιν: πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλαττόν ἐστιν.

同じ量に対してより大きい比をもつ量はより大きく、同じ量からの比がより大きい量はより小さい。

三つの量α,β,γにおいて次が成り立つ。

α:γ ＞ β:γ

⇒

α ＞ β

γ:β ＞ γ:α

⇒

β ＜ α

A対CがB対Cより大きいならば、AはBより大きいと主張する。

もしそうでなければ、AはBに等しいかあるいはより小さいかのどちらかである。AとBはCに対して同じ比をもっていないから、AとBは等しくない[命題V-7]。また、もしAがBより小さければA対CがB対Cより小さくなるから[命題V-8]、AはBよりより小さくない。したがって、AはBより大きい。

次にC対BがC対Aより大きいならば、BはAより小さいと主張する。

もしそうでなければ、BはAに等しいかあるいはより大きいかのどちらかである。CはAとBに対して同じ比をもっていないから、AとBは等しくない[命題V-7]。また、もしBがAより大きければC対BがC対Aより小さくなるから[命題V-8]、BはAよりより大きくない。したがって、BはAより小さい。

ゆえに、同じ量に対してより大きい比をもつ量はより大きく、同じ量からの比がより大きい量はより小さい。これが証明すべきことであった。

Euclid(J.L.Heiberg), Euclidis Elementa, Leipzig. Teubner., 1883-1888