第V巻 定義・命題目次
著者:Ευκλείδης(J.L.Heiberg, Ed.)
第V巻の定義・命題目次
作成:2006-09-18
更新:2011-03-10

定義DV-1

Μέρος ἐστὶ μέγεθος μεγέθους τὸ ἔλασσον τοῦ μείζονος, ὅταν καταμετρῇ τὸ μεῖζον.
 あるりょう, μέγεθος, magnitudeがより大きい量の約量やくりょう, μέρος, partであるとは、その量で大きい量を測り切れることをいう。
 ある量αがより大きい量βの約量であるとは、自然数mが存在して次が成り立つことをいう。
β = mα

定義DV-2

Πολλαπλάσιον δὲ τὸ μεῖζον τοῦ ἐλάττονος, ὅταν καταμετρῆται ὑπὸ τοῦ ἐλάττονος.
 ある量がより小さい量の倍量ばいりょう, πολλαπλάσιος, multipleであるとは、小さい量でその量を測り切れることをいう。
 ある量αがより小さい量βの倍量であるとは、自然数mが存在して次が成り立つことをいう。
α = mβ

定義DV-3

Λόγος ἐστὶ δύο μεγεθῶν ὁμογενῶν ἡ κατὰ πηλικότητά ποια σχέσις.
ひ, λόγος, ratioとは、同じ種類の二つの量の大きさに関するある種の関係である。

定義DV-4

Λόγον ἔχειν πρὸς ἄλληλα μεγέθη λέγεται, ἃ δύναται πολλαπλασιαζόμενα ἀλλήλων ὑπερέχειν.
 二つの量が互いに比をもつとは、何倍かすることで互いに他より大きくできることをいう。
 二つの量α,βが互いに比をもつとは、自然数m,nが存在して次が成り立つことをいう。
mα > β, nβ > α
このとき、αβの比をα:βと書く。

定義DV-5

Ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ μεγέθη λέγεται εἶναι πρῶτον πρὸς δεύτερον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, ὅταν τὰ τοῦ πρώτου καὶ τρίτου ἰσάκις πολλαπλάσια τῶν τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου ἰσάκις πολλαπλασίων καθ᾽ ὁποιονοῦν πολλαπλασιασμὸν ἑκάτερον ἑκατέρου ἢ ἅμα ὑπερέχῃ ἢ ἅμα ἴσα ᾖ ἢ ἅμα ἐλλείπῃ ληφθέντα κατάλληλα.
 四つの量の一項と二項の比と三項と四項の比が等しいとは、一項と三項、二項と四項をそれぞれ任意に等倍したとしても、一項と二項、三項と四項を比較したときの大小及び相等関係が一致することをいう。
 四つの量α,β,γ,δの比α:βγ:δが等しいとは、任意の自然数m,nに対して次が成り立つことをいう。
mα > nβ
mγ > nδ
mα = nβ
mγ = nδ
mα < nβ
mγ < nδ

定義DV-6

Τὰ δὲ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον μεγέθη ἀνάλογον καλείσθω.
 同じ比をもつ量の組どうしは比例ひれい, ἀνάλογος, proportionalするという。

定義DV-7

Ὅταν δὲ τῶν ἰσάκις πολλαπλασίων τὸ μὲν τοῦ πρώτου πολλαπλάσιον ὑπερέχῃ τοῦ τοῦ δευτέρου πολλαπλασίου, τὸ δὲ τοῦ τρίτου πολλαπλάσιον μὴ ὑπερέχῃ τοῦ τοῦ τετάρτου πολλαπλασίου, τότε τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον μείζονα λόγον ἔχειν λέγεται, ἤπερ τὸ τρίτον πρὸς τὸ τέταρτον.
 四つの量の一項と三項、二項と四項をそれぞれ等倍し、一項の倍量が二項の倍量より大きく、三項の倍量が四項の倍量より大きくないとき、一項と二項の比は三項と四項の比より大きいという。
 四つの量α,β,γ,δの比α:βγ:δより大きいとは、ある自然数m,nが存在して次が成り立つことをいう。
mα > nβ, mγ ≦ nδ

定義DV-8

Ἀναλογία δὲ ἐν τρισὶν ὅροις ἐλαχίστη ἐστίν.
 比例には少なくとも三つのこう, ὅρος, termがある。
 三つの量α,β,γについて
α:β = β:γ

定義DV-9

Ὅταν δὲ τρία μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ πρῶτον πρὸς τὸ τρίτον διπλασίονα λόγον ἔχειν λέγεται ἤπερ πρὸς τὸ δεύτερον.
 三つの量が比例するとき、一項は三項に対して二項に関する二乗比じじょうひ, διπλασίων λόγος, duplicate ratioをもつという。

定義DV-10

Ὅταν δὲ τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ πρῶτον πρὸς τὸ τέταρτον τριπλασίονα λόγον ἔχειν λέγεται ἤπερ πρὸς τὸ δεύτερον, καὶ ἀεὶ ἑξῆς ὁμοίως, ὡς ἂν ἡ ἀναλογία ὑπάρχῃ.
 四つの量が比例するとき、一項は四項に対して二項に関する三乗比さんじょうひ, τριπλασίων λόγος, triplicate ratioをもつという。これは任意の個数の量の比例についても同様である。

定義DV-11

Ὁμόλογα μεγέθη λέγεται τὰ μὲν ἡγούμενα τοῖς ἡγουμένοις τὰ δὲ ἑπόμενα τοῖς ἑπομένοις.
 四つの量が比例するとき、前項は前項に、後項は後項に対応する量であるという。
 四つの量α,β,γ,δについてα:β = γ:δならばαγに、βδに対応する量であるという。

定義DV-12

Ἐναλλὰξ λόγος ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου πρὸς τὸ ἡγούμενον καὶ τοῦ ἑπομένου πρὸς τὸ ἑπόμενον.
交代比こうたいひ, ἐναλλάξ λόγος, alternate ratioとは、前項に対する前項の比と、後項に対する後項の比をとることである。
 四つの量α,β,γ,δについて
α:β = γ:δ ⇒ α:γ = β:δ

定義DV-13

Ἀνάπαλιν λόγος ἐστὶ λῆψις τοῦ ἑπομένου ὡς ἡγουμένου πρὸς τὸ ἡγούμενον ὡς ἑπόμενον.
逆比ぎゃくひ, ἀνάπαλιν λόγος, inverse ratioとは、前項と後項を入れ替えた比をとることである。
 四つの量α,β,γ,δについて
α:β = γ:δ ⇒ β:α = δ:γ

定義DV-14

Σύνθεσις λόγου ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου μετὰ τοῦ ἑπομένου ὡς ἑνὸς πρὸς αὐτὸ τὸ ἑπόμενον.
 比の統合とうごう, σύνθεσις, synthesisとは、前項と後項の和の後項に対する比をとることである。
α:βについて(α+β):βを比の統合という。

定義DV-15

Διαίρεσις λόγου ἐστὶ λῆψις τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει τὸ ἡγούμενον τοῦ ἑπομένου, πρὸς αὐτὸ τὸ ἑπόμενον.
 比の分離ぶんり, διαίρεσις, separationとは、前項と後項の差の後項に対する比をとることである。
(α+β):βについてα:βを比の分離という。

定義DV-16

Ἀναστροφὴ λόγου ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου πρὸς τὴν ὑπεροχήν, ᾗ ὑπερέχει τὸ ἡγούμενον τοῦ ἑπομένου.
 比の反転はんてん, ἀναστροφή, reverseとは、前項の前項と後項の差に対する比をとることである。
(α+β):βについて(α+β):αを比の反転という。

定義DV-17

Δι᾽ ἴσου λόγος ἐστὶ πλειόνων ὄντων μεγεθῶν καὶ ἄλλων αὐτοῖς ἴσων τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανομένων καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ὅταν ᾖ ὡς ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσι τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ἔσχατον, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσι τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ἔσχατον: ἢ ἄλλως: Λῆψις τῶν ἄκρων καθ᾽ ὑπεξαίρεσιν τῶν μέσων.
 二組の同数の量の組において、対応するどの二つの量も比例するとき、初項に対する末項の比をとることを等位比とういひ, δι᾽ ἴσου λόγος, ratio ex aequaliをとるという。
 二組の同数の量の組(α,β,γ)(Α,Β,Γ)においてα:β=Α:Β, β:γ=Β:Γのときα:γ=Α:Γを等位比という。

定義DV-18

Τεταραγμένη δὲ ἀναλογία ἐστίν, ὅταν τριῶν ὄντων μεγεθῶν καὶ ἄλλων αὐτοῖς ἴσων τὸ πλῆθος γίνηται ὡς μὲν ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἡγούμενον πρὸς ἑπόμενον, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἡγούμενον πρὸς ἑπόμενον, ὡς δὲ ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἑπόμενον πρὸς ἄλλο τι, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις ἄλλο τι πρὸς ἡγούμενον.
 二組の三つの量の組が乱比例らんぴれい, τεταραγμένη ἀναλογία, perturbed proportionするとは、一組目の初項と次項の比が二組目の初項と次項の比に等しく、一組目の次項と末項の比が二組目の末項と初項の比に等しいことをいう。
 二組の三つの量の組(α,β,γ)(Α,Β,Γ)においてα:β=Α:Β, β:γ=Γ:Αのとき乱比例するという。

命題V-1

二組の同数の量の組において、対応する量の各々が等倍の倍量であれば、全体の和も同じ倍数の倍量である。
 二組の同数の量の組(α,β,γ,⋯)(mα,mβ,mγ,⋯), m∈ℕについて、次が成り立つ。
mα + mβ + mγ + ⋯ = m(α + β + γ + ⋯)

命題V-4

四つの量の組において、一項対二項と三項対四項が同じ比をもつとき、一項と三項、二項と四項をそれぞれどのように等倍しても、同じ比をもつ。
 四つの量の組(α,β,γ,δ)と任意の自然数m,n∈ℕについて次が成り立つ。
α:β = γ:δ ⇒ mα:nβ = mγ:nδ

命題V-6

二量が別の二量の等倍で、前二者から取り去られる二量が後二者の等倍であれば、取り去った残りの二量は後二者に等しいか等倍である。
 二つの量α,βと任意の自然数m,n∈ℕについて次が成り立つ。
(mα - nα):α
=
(mβ - nβ):β
mα - nα
=
(m - n)α
mβ - nβ
=
(m - n)β

命題V-7

等しい量は同じ量に対して同じ比をもち、後者は前二者に対して同じ比をもつ。
 三つの量α,β,γにおいて次が成り立つ。
α = β ⇒ α:γ = β:γ, γ:α = γ:β

命題V-9

同じ量に対して同じ比をもつ量は互いに等しく、同じ量からの比が同じであるような量は互いに等しい。
 三つの量α,β,γにおいて次が成り立つ。
α:γ = β:γ
α = β     
γ:α = γ:β
α = β

命題V-10

同じ量に対してより大きい比をもつ量はより大きく、同じ量からの比がより大きい量はより小さい。
 三つの量α,β,γにおいて次が成り立つ。
α:γ > β:γ
α > β     
γ:β > γ:α
β < α

命題V-11

同じ比に等しい比どうしは互いに等しい。
 六つの量α,β,γ,δ,ε,ζにおいて次が成り立つ。
α:β = γ:δ, γ:δ = ε:ζ ⇒ α:β = ε:ζ

命題V-12

二組の同じ個数の量の組において、対応する量の各々が比例するならば、全体の和もそれに比例する。
 二組の同じ個数の量の組(α,β,γ,⋯)と(α',β',γ',⋯)について次が成り立つ。
α:α' = β:β' = γ:γ' = ⋯ ⇒ α:α' = (α + β + γ + ⋯):(α' + β' + γ' + ⋯)

命題V-14

四つの量の一項と二項の比と三項と四項の比が等しいとき、一項と三項、二項と四項を比較したときの大小及び相等関係は一致する。
 四つの量α,β,γ,δにおいて、α:β=γ:δならば 次が成り立つ。
α > γ
β > δ
α = γ
β = δ
α < γ
β < δ

命題V-15

二つの量の比は両方を等倍した比に等しい。
 二つの量α,βと自然数m∈ℕについて次が成り立つ。
α:β = mα:mβ

命題V-16

比例している四つの量においては交代比も比例する。
 四つの量α,β,γ,δについて次が成り立つ。
α:β = γ:δ ⇒ α:γ = β:δ

命題V-17

統合された比が比例するならば、分離しても比例する。
 四つの量α,β,γ,δについて次が成り立つ。
(α+β):β = (γ+δ):δ ⇒ α:β = γ:δ

命題V-18

分離された比が比例するならば、統合しても比例する。
 四つの量α,β,γ,δについて次が成り立つ。
α:β = γ:δ ⇒ (α+β):β = (γ+δ):δ

命題V-19

二つの量の比がそれらの部分の比に等しいとき、全体から部分を取り去った量の比もそれに等しい。
 四つの量α,β,γ(<α),δ(<β)について次が成り立つ。
α:β = γ:δ ⇒ α:β = (α-γ):(β-δ)

命題V-20

二組の三つの量の組において、対応するどの二つの量も比例するとき、各々の組の初項と末項を比較したときの大小及び相等関係は一致する。
 二組の三つの量の組(α,β,γ)(δ,ε,ζ)において α:β=δ:ε, β:γ=ε:ζのとき、次が成り立つ。
α > γ
δ > ζ
α = γ
δ = ζ
α < γ
δ < ζ

命題V-21

二組の三つの量の組において、対応するどの二つの量も入れ替えると比例するとき、各々の組の初項と末項を比較したときの大小及び相等関係は一致する。
 二組の三つの量の組(α,β,γ)(δ,ε,ζ)においてα:β=ε:ζ, β:γ=δ:εのとき、次が成り立つ。
α > γ
δ > ζ
α = γ
δ = ζ
α < γ
δ < ζ

命題V-22

二組の同じ数の量の組において、対応するどの二つの量も比例するとき、各々の等位比は等しい。
 二組の三つの量の組(α,β,γ)(δ,ε,ζ)において α:β=δ:ε, β:γ=ε:ζならばα:γ=δ:ζが成り立つ。

命題V-23

二組の同じ数の量の組において、対応するどの二つの量も入れ替えると比例するとき、各々の等位比は等しい。
 二組の三つの量の組(α,β,γ)(δ,ε,ζ)において α:β=ε:ζ, β:γ=δ:εならばα:γ=δ:ζが成り立つ。

命題V-25

比例している四つの量において、最大量と最小量の和は残りの二つの和より大きい。
 四つの量α,β,γ,δにおいて、αが最大量、δが最小量であるとき、次が成り立つ。
α:β = γ:δ ⇒ α+δ > β+γ
数  学
りょう, μέγεθος, magnitude
約量 やくりょう, μέρος, part
倍量 ばいりょう, πολλαπλάσιος, multiple
ひ, λόγος, ratio
比例 ひれい, ἀνάλογος, proportional
こう, ὅρος, term
二乗比 じじょうひ, διπλασίων λόγος, duplicate ratio
三乗比 さんじょうひ, τριπλασίων λόγος, triplicate ratio
交代比 こうたいひ, ἐναλλάξ λόγος, alternate ratio
逆比 ぎゃくひ, ἀνάπαλιν λόγος, inverse ratio
統合 とうごう, σύνθεσις, synthesis
分離 ぶんり, διαίρεσις, separation
反転 はんてん, ἀναστροφή, reverse
等位比 とういひ, δι᾽ ἴσου λόγος, ratio ex aequali
乱比例 らんぴれい, τεταραγμένη ἀναλογία, perturbed proportion
 
クリエイティブ・コモンズ・ライセンス
Euclid(J.L.Heiberg), Euclidis Elementa, Leipzig. Teubner., 1883-1888