三角形ABCにおいて角ABCと角ACBが等しいものとする。このとき、辺ABが辺ACに等しいと主張する。

 もしABがACと等しくなければどちらかが長いことになる。ABがACより長いとすれば、ACと同じ長さの直線DBを切り取ることができる[命題I-3]。このとき、直線DCを引く[公準P-1]。

 DBはACと等しく、BCを共有しているから、DB、ＢＣとAC、CBの二辺がそれぞれ等しく、角DBCと角ACBが等しい。よって、底辺DCはABと等しく、三角形DBCと三角形ACBは等しい[命題I-4]。これは小さいものと大きいものが等しいことになり矛盾である[公理A-5]。したがって、ABとACは等しい。

 ゆえに、三角形の二つの角が等しいならば、それらに対する二つの辺も互いに等しい。これが証明すべきことであった。