剰余環
著者:梅谷 武
語句:剰余環,準同型写像,同型写像,同型,核,包含写像,標数
剰余環について述べる。
作成:2006-06-11
更新:2013-06-14
 正の整数mを法として整数を分割した剰余類の集合を
ℤ/mℤ = { 0,1,2,⋯,m-1 }
と書くことにします。この集合上で加法と乗法を
a + b
=
a+b
ab
=
a⋅b
と定義することができます。命題5.1.8はこの定義が剰余系のとり方によらずに定まることを示しています。ℤ/mℤはこの加法と乗法に関して可換環になっています。

命題5.3.2

 可換環RとそのイデアルIが与えられたとき、R/Iに加法と乗法を次のように定義することによってR/Iは可換環となる。
a + b
=
a+b
ab
=
a⋅b
これを可換環RのイデアルIを法とする剰余環じょうよかん, residue ringという。

証明

命題5.1.8と同様にしてa ≡ b (mod I), c ≡ d (mod I)のとき、a + c ≡ b + d (mod I), ac ≡ bd (mod I)を示すことができる。これは加法と乗法の定義が剰余系のとり方によらずに定まることを意味している。可換環の性質を満たすことは元の演算がその性質を満たしていることからわかる。■
ℤ/mℤのイデアル(m)=mℤを法とする剰余環ですが、これをの法mに関する剰余環ともいいます。
 次にある可換環の性質を調べるために、それを別の表現をもつ可換環へ写像で移すという手法について考えます。このときに使う写像は加法と乗法を保つものでなければなりません。

定義5.3.6 環の準同型写像

 可換環Rから可換環R'への写像f:R → R'が次の条件を満たすとき準同型写像じゅんどうけいしゃぞう, homomorphism mapという。任意のa,b ∈Rに対して、
(1) f(a+b) = f(a) + f(b)
(2) f(a⋅b) = f(a) ⋅ f(b)
(3) f(1) = 1
さらに、この準同型写像が全単射であるとき同型写像どうけいしゃぞう, isomorphism mapという。RからR'への同型写像が存在するとき、RR'同型どうけい, isomorphicであるといい、R≅R'と書く。
 二つの可換環が同型であるときには、その加法や乗法に関する代数的な議論をしている限りはまったく同じものと考えてかまいません。

補題5.3.8

 写像f:R → R'が可換環の準同型写像であるとき、
Ker f = f-1({0}) = { a ∈R | f(a) = 0 }
Rのイデアルである。これをfかく, kernelという。

証明

f(a)=f(b)=0ならばf(a+b)=f(a)+f(b)=0.f(a)=0ならばr∈Rについてf(ra)=f(r)f(a)=0.

補題5.3.10

 写像f:R → R'が可換環の準同型写像であるとき、fが単射であることとKer f = {0}となることは同等である。

証明

fが単射であるとはa,b∈R, a≠bならばf(a)≠f(b)が成り立つことである。これをf(a-b)≠0と書き換えれば、Ker f = {0}と同じであることがわかる。■
 写像f:R → R'が可換環Rから可換環R'への準同型写像であるとき、その像f(R)R'の部分環であり、自然な射影
π:R → R/Ker f, a ↦ a
fπから自然に誘導される写像
f:R/Ker f → f(R), a ↦ f(a)
f(R)からR'への包含写像ほうがんしゃぞう, inclusion mappingiによって次のような可換図式が得られます。
RfR'
π i
R/Ker fff(R)

定理5.3.13 環の準同型定理

 写像f:R → R'が可換環Rから可換環R'への準同型写像であるとき、その像f(R)R'の部分環であり、fから自然に誘導される写像f:R/Ker f → f(R)は同型写像である。

証明

 まず、この写像が剰余系のとり方によらないことを示す。a≡b(mod Ker f)とするとa-b ∈Ker fであるからf(a-b)=f(a)-f(b)=0よりf(a)=f(b)となる。f(R)が部分環であることは、その任意の元がf(a), a ∈Rと書けることからわかる。写像が全射であることはあきらかである。準同型写像であることは元の写像が準同型写像であることからわかる。単射であることは、f(a)=0a ∈Ker fを意味し、Ker f=0=Ker fであることからわかる。■
 可換環Rにおいて任意の自然数kに対して、
k1 = 1+1+ ⋯ + 1 (k個の和)
とし、整数からRへの写像を
ℤ ∋k ↦ lc48
k1,
k≧0
-(|k|1),
k<0
によって定めるとこれは準同型写像となります。この核はのイデアルですが、は単項イデアル整域ですから、ある自然数nが一意的に定まって(n)=nℤと一致します。このようにして定まる自然数nR標数ひょうすう, characteristicといいます。準同型定理から任意の可換環はその標数をnとするとℤ/nℤと同型な部分環を含むことがわかります。
 可換環Rの標数が0のときは、この準同型写像は単射になりますのでRと同型な部分環を含むことになります。さらにRが順序環であるときこの同型写像は順序を保ちます。このことから有理整数環を次のように特徴付けることができます。

命題5.3.18

 有理整数環は最小の順序環である。すなわち、任意の順序環に順序を保つ同型写像によって埋め込むことができる。

証明

 演習とする。■
 標数が0の体kについては、有理整数環の埋め込み写像を自然に有理数体へ拡張することができます。さらにkが順序体であるときこの同型写像は順序を保ちます。このことから有理数体を次のように特徴付けることができます。

命題5.3.21

 有理数体は最小の順序体である。すなわち、任意の順序体に順序を保つ同型写像によって埋め込むことができる。

証明

 演習とする。■
 可換環Rの標数nが正のときには、順序環の性質(O4):任意のx,y,z ∈Rに対し、
x<y ⇒ x+z<y+z
が満たされないのでRは順序環にはなり得ません。
k個の環R1,⋯,Rkが与えられたときに、その直積集合
R1 × ⋯ × Rk = { (a1,⋯,ak) | ai ∈Ri, i=1,⋯,k }
に加法と乗法を
(a1,⋯,ak) + (b1,⋯,bk)
=
(a1+b1,⋯,ak+bk)
(a1,⋯,ak)(b1,⋯,bk)
=
(a1 b1,⋯,ak bk)
と定義すると、零元は(0,⋯,0)で、単位元は(1,⋯,1)であるような環になります。中国の剰余定理は剰余環と直積の概念を使って次のように言い換えることができます。

定理5.3.25 中国の剰余定理II

m1,m2,⋯,mkを互いに素であるような正の整数としたとき、m=m1 m2 ⋯ mkとすると、写像
Φ:ℤ/mℤ → ℤ/m1ℤ×⋯×ℤ/mkℤ, a(mod m) ↦ (a(mod m1),⋯,a(mod{mk})
は同型写像である。

証明

a≡b(mod m)であれば任意のmiについてa≡b(mod mi)であるから、この写像の定義に問題は無い。この写像の核の元aは、任意のmiについてa≡0(mod mi)を満たすのでa≡0(mod m)となり、Φが単射であることがわかる。ℤ/m1ℤ×⋯×ℤ/mkの任意の元(a(mod m1),⋯,a(mod{mk})が与えられたとき、中国の剰余定理から、
lc144
X ≡ a1 (mod m1)
X ≡ a2 (mod m2)
⋯⋯
X ≡ ak (mod mk)
m = m1m2⋯mkを法として一意的な解aを持つことからΦが全射であることがわかる。■

系5.3.27

m = p1e1⋯pkekを正の整数mの素因数分解とすれば、
ℤ/mℤ ≅ ℤ/p1e1ℤ × ⋯ × ℤ/pkek
 一回に一桁の四則演算ができる演算器をもつ計算機で、n桁の数の四則演算を計算することを考えましょう。特にn桁の乗算をするためには演算器をn2回動作させなければなりません。しかし、もしn=n1 n2 ⋯ nk, ni<n, i= 1,⋯,kというように互いに素でnよりも小さな法の組に分解したとすれば、n桁の乗算は、演算器をn回だけ動作させればいいことになります。これは変換の手間を考慮しても計算量としては相当な差になりますので、巨大な数の乗算においてはこの法算術は重要な技法となります。
 加法については法算術によって計算量を減らすことができないように思われますが、法算術に変換することによって桁上がりがなくなるために、すべての桁の加算が同時並行してできるという利点があります。したがって、計算機を高度に並列化しようとしたときに、数の四則演算を法算術で行うという設計技法が有力になる可能性もあると考えられます。
 中国の剰余定理は、さらに一般の可換環にまで拡張することができます。有理整数環あるいはより一般的に単項イデアル整域Rにおいては、任意の元a,b∈Rについて(a) + (b) = (d)となる最大公約元dが単元倍を除いて定まり、特にd=1のときはabはの公約元は単元だけで(a) + (b) = Rとなり、このときabは 互いに素であると定義しました。これを一般の可換環のイデアルに拡張します。可換環Rにおいて、二つのイデアルI,Jが互いに素であるということを
I + J = R
によって定義します。そうすると中国の剰余定理を次のように一般の可換環に拡張することができます。

定理5.3.31 中国の剰余定理III

I1,I2,⋯,Ikを可換環Rの互いに素であるようなイデアルとすると、
i=1k Ii = I1 I2 ⋯ Ik
であり、これをIとおくと写像
Φ:R/I → R/I1×⋯×R/Ik, a(mod I) ↦ (a(mod I1),⋯,a(mod{Ik})
は同型写像である。

証明

 まずI1I2が互いに素であればI1 ∩I2 = I1 I2であることを示す。イデアルであることからI1I2⊂I1, I1 I2⊂I2であり、I1I2⊂I1∩I2はつねに成り立っている。a∈I1∩I2に対して1=b1+b2, b1∈I1, b2∈I2をかけるとa=ab1+ab2となり、a∈I1I2であることがわかる。したがってI1∩I2⊂I1I2である。
 次にI1I2I3が互いに素であることを示す。1=b1+b2=c1+c3, b1,c1∈I1, b2∈I2, c3∈I3とする。
1 = (b1+b2)(c1+c3) = b1c1 + c1b2 + b1c3 + b2c3
において、b1c1+c1b2+b1c3∈I1, b2c3∈I2I3より互いに素である。このことから、
I1 ∩ I2I3 = I1 ∩ I2 ∩ I3 = I1 I2 I3
が成り立つことがわかる。この議論を繰り返すことによりi=1k Ii = I1 I2 ⋯ Ikが得られる。
Φが単射であることは、自然な射影R → R/I1×⋯×R/Ik, a ↦ (a(mod I1),⋯,a(mod Ik)の核がi=1kIiであることから、準同型定理を適用することによってわかる。したがって全射であることを示せばよい。まず、k=2のときを考える。1=b1+b2, b1∈I1, b2∈I2とする。任意のa1,a2∈Rに対して、c=a2b1+a1b2とおくと
c
=
a2b1 + a1(1-b1) = a1 + (a2 - a1)b1 ≡ a1 (mod I1)
=
a2(1-b2) + a1b2 = a2 + (a1 - a2)b2 ≡ a2 (mod I2)
となり、Φ(c)=(a1(mod I1),a2(mod I2))であることがわかる。k=3の場合はI1I2I3が互いに素であることから、
R/I1 I2 I3 ≅ R/I1 × R/I2 I3 ≅ R/I1 × R/I2 × R/I3
が成り立ち、この議論を繰り返すことにより、R/I1⋯Ik≅R/I1×⋯×R/Ikが得られる。■

系5.3.33

a ≈ p1e1⋯pkekを単項イデアル整域Rにおける元aの素元分解とすれば、
R/(a) ≅ R/(p1e1) × ⋯ × R/(pkek)

参考文献

[1] 松坂 和夫, 代数系入門, 岩波書店, 1976
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[2] ファン・デル・ヴェルデン, 現代代数学〈1〉, 商工出版社, 1959
[3] D.E.Knuth(中川圭介訳), 準数値算法―算術演算, サイエンス社, 1986
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[4] D.E.Knuth(有沢誠他訳), The Art of Computer Programming (2) 日本語版 Seminumerical algorithms, アスキー, 2004
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計算機科学やConcrete mathematicsの分野で道なき道を切り開いてきたクヌースの一連の仕事には頭が下がります。膨大な情報が行間に凝縮されているこのシリーズはこの分野を学ぶ人間には基本的な文献ですが、読んで内容を理解するには忍耐が必要です。
 
数  学
剰余環 じょうよかん, residue ring
準同型写像 じゅんどうけいしゃぞう, homomorphism map
同型写像 どうけいしゃぞう, isomorphism map
同型 どうけい, isomorphic
かく, kernel
包含写像 ほうがんしゃぞう, inclusion mapping
集合Aとその部分集合Pが与えられたときに、a∈Pに対してa∈Aを対応させる写像。
標数 ひょうすう, characteristic
 
Published by SANENSYA Co.,Ltd.