ベルヌーイ数の母関数

著者:梅谷武
語句:母関数,指数型母関数

ベルヌーイ数の母関数について述べる。

作成:2006-05-27
更新:2021-03-17

4.5 ベルヌーイ数の母関数

有理数列(a_i)_i∈ℕを係数とする形式的冪級数

∞
∑
i=0

a_iXⁱ

を(a_i)_i∈ℕの母関数ぼかんすう, generating functionといい、

∞
∑
i=0

a_i

Xⁱ

を指数型母関数しすうがたぼかんすう, exponential generating functionといいます。母関数といっても実際には関数ではなくて形式的冪級数と考えています。

形式的な指数関数e^Xを

(4.1)

e^X =

∞
∑
i=0

Xⁱ

によって定義します。これも関数ではなく形式的冪級数ですが、形式的冪級数としての微分に関して関数としての微分と同様に

∂

∂ X

e^X = e^X

が成り立ちます。

例題4.5.3

(4.2)

∞
∑
i=0

a_i

Xⁱ

∞
∑
i=0

b_i

Xⁱ

∞
∑
i=0

i
∑
j=0

(

i
j

)

a_jb_i－j

Xⁱ

証明

∞
∑
i=0

a_i

Xⁱ

∞
∑
i=0

b_i

Xⁱ

∞
∑
i=0

c_iXⁱ

とすると、形式的冪級数の積の定義より、

c_i =

i
∑
j=0

a_j

b_i－j

(i－j)!

i
∑
j=0

(

i
j

)

a_jb_i－j

■

例題4.5.5

(4.3)

e^Xe^－X = 1

証明

∞
∑
i=0

Xⁱ

∞
∑
i=0

(－1)ⁱ

Xⁱ

∞
∑
i=0

c_i

Xⁱ

とすると

c_i =

i
∑
j=0

(－1)ⁱ

(

i
j

)

であるが、これはパスカルの算術三角形の指数iの底辺の交代和であることから

i
∑
j=0

(－1)ⁱ

(

i
j

)

= δ_0i =

i = 0

i ≠ 0

となる。この詳細は演習とする。■

次の定理はベルヌーイ数を特徴付けるものです。

定理4.5.8

ℚ((X))においてベルヌーイ数の指数型母関数と指数関数に関する次の式が成り立つ。

(4.4)

Xe^X

e^X － 1

∞
∑
i=0

B_i

Xⁱ

証明

∞
∑
i=0

B_i

Xⁱ

(e^X － 1)

∞
∑
i=0

B_i

Xⁱ

∞
∑
i=1

Xⁱ

∞
∑
i=1

i－1
∑
j=0

(

i
j

)

B_i

Xⁱ

ここでベルヌーイ数の漸化式

i－1
∑
j=0

(

i
j

)

B_i

= i

を代入すれば、

(左辺) =

∞
∑
i=1

Xⁱ

(i－1)!

= Xe^X

となる。■

今後、ベルヌーイ数の指数型母関数を単にベルヌーイ数の母関数と呼び、それをB(X)と書くことにします。

B(X) =

Xe^X

e^X － 1

これに－Xを代入すると

B(－X) =

－Xe^－X

e^－X － 1

e^X(－Xe^－X)

e^X(e^－X － 1)

e^X － 1

ですから、

B(X) － B(－X) =

Xe^X

e^X － 1

－

e^X － 1

= X

が成り立ちます。これは形式的冪級数としての等式

∞
∑
i=0

B_i

Xⁱ

－

∞
∑
i=0

(－1)ⁱB_i

Xⁱ

= X

ですから、i=1のときB₁ = 1/2、i=2n+1(n ≧ 1)のときB_2n+1=0であることがわかります。

命題4.5.11

1より大きい奇数iに対応するベルヌーイ数B_iは0である。

ベルヌーイ数の母関数の奇数次の項は一次の項を除いて0であることがわかりました。この一次の項を除いたものをE(X)と置きます。

E(X) =

Xe^X

e^X － 1

－

∞
∑
i=0

B_2i

(2i)!

X²ⁱ

これを微分すると

E'(X)

(e^X+Xe^X)(e^X－1)－X(e^X)²

(e^X － 1)²

－

e^X

e^X－1

－

Xe^X

e^X－1

－

Xe^X

e^X－1

この両辺にXを掛けて整理すると

XE'(X)

Xe^X

e^X－1

－

Xe^X

e^X－1

－

Xe^X

e^X－1

E(X) － E(X)² +

X²

これより、

E(X)² = E(X) － XE'(X) +

X²

が得られますが、これを形式的冪級数としてあらわに書き下すと

∞
∑
i=0

i
∑
j=0

(

2i
2j

)

B_2jB_2(i－j)

X²ⁱ

(2i)!

∞
∑
i=0

(1 － 2i)B_2i

X²ⁱ

(2i)!

X²

となります。i＞1で両辺の係数を比較すると

(1 － 2i)B_2i =

i
∑
j=0

(

2i
2j

)

B_2jB_2(i－j)

右辺の和においてj=0,iのときB_2iになるのでそれを左辺に移項し、整理することによって、オイラーが発見したベルヌーイ数の漸化式が得られます。

命題4.5.13 オイラー

(4.5)

B_2i = －

2i+1

i－1
∑
j=1

(

2i
2j

)

B_2jB_2(i－j)

, i＞1

この公式を利用するとベルヌーイ数の符号を知ることができます。

系4.5.15

i≧1が奇数のときB_2iは正であり、偶数のとき負となる。

証明

オイラーの漸化式の両辺に(－1)^i－1を掛けると

(－1)^i－1B_2i =

2i+1

i－1
∑
j=1

(

2i
2j

)

(－1)^j－1B_2j(－1)^i－j－1B_2(i－j)

となる。これにより数学的帰納法で(－1)^i－1B_2i＞0を証明する。i=1のときはB₂ = 1/6＞0である。i－1まで正しいと仮定すると右辺は正であるから、左辺も正となる。■

参考文献

[1] 荒川恒男, 金子昌信, 伊吹山知義, ベルヌーイ数とゼータ関数, 牧野書店, 2001

[2] 山口周, 整数論―美しき円分体論・ベルヌーイ数への旅路, 産業図書, 1994

数　　学

母関数ぼかんすう, generating function
指数型母関数しすうがたぼかんすう, exponential generating function

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