2変数以上の体上の多項式環は一変数の場合とは異なり、単項イデアル整域にはなりません。例えば、体上の2変数多項式環k[X,Y]において(X,Y)は単項イデアルにはなりません。このことからユークリッド整域にもなり得ないことがわかります。しかし、やはり一意分解整域となり、0でも単元でもない元は素元の積として一意的に分解することができます。また、一変数多項式環であっても係数環が体でなければ、やはり単項イデアル整域にはなりません。例えば、整数ℤ上の多項式環ℤ[X]において、単元±1以外のa ∈ℤについて(a,X)は単項イデアルにはなりません。この節の目的は一意分解整域上の多項式環が一意分解整域となること、そしてその結果として体上の多変数多項式環が一意分解整域となることを示すことです。

 まず、整数から有理数を構成した同じやり方で、一般の整域Rに対して、それを含む最小の体Kを構成します。Rの元を分母と分子とする分数全体の集合Frac(R)を考えます。 この集合においてab'=a'bのとき とする同値関係∽を考え、K = Frac(R)/∽と定義します。またa∈Rを と同じとみなすことによってR⊂Kと考えます。K上に加法と乗法を次のように定義します。 Kはこの加法と乗法によって体となります。これをRの商体しょうたい, quotient fieldといいます。

 Rが一意分解整域のときは、その商体Kの元の分母と分子を素元分解し、共通因子を消去することによって、それ以上約分できないような既約表示にすることができます。また、任意の２元について最大公約元、最小公倍元が単元倍を除いて定まります。R上の多項式f(X) = a₀ + a₁ X + a₂ X² + ⋯ + a_n Xⁿにおいて、係数の最大公約元gcd(a₀, a₁, ⋯, a_n)が1である多項式を原始的げんしてき, primitiveである、もしくは原始多項式げんしたこうしき, primitive polynomialといいます。Rの商体をKとし、K上の多項式f(X)を考えます。f(X)の各係数を既約表示にし、分母の最小公倍元bを乗ずると係数はすべてRの元となりますが、これらの最大公約元をaとするとc(f)=a/bとして、 と分解することができます。この分解は単元倍を除いて一意的に定まります。このc(f)をfの容量ようりょう, contentといいます。

 原始多項式に関する次の性質は多項式の既約性に関して考えるときに基本的なもので、ガウスの補題がうすのほだい, Gauss's lemmaと呼ばれることがあります。

 さて、次に一意分解整域上の多項式環が一意分解整域であることを証明しますが、その前に一意分解整域上の多項式環における素元がどのようなものかを調べておきましょう。

 Rを一意分解整域とし、Kをその商体とします。f,g∈R[X]についてfg=1が成り立てば、次数を考えることでf,g ∈Rであることがわかります。したがってRとR[X]の単元の集合は一致します。同じように次数を考えることでRの0でも単元でもない元がRの素元であることとR[X]の素元であることは同じことです。次数が1以上の多項式q∈R[X]を考えましょう。もしqが素元であれば、その分解c(q)q₀においてc(q)=1でなければなりません。すなわち、qは既約な原始多項式でなければなりません。逆にqを既約な原始多項式であるとします。f,g∈R[X]についてR[X]においてq|fgであるならば、qはK[X]の素元ですから、K[X]においてq|fまたはq|gが成り立っていますが、ガウスの補題によりこれはR[X]においても成り立っています。したがってqはR[X]の素元です。これらのことを命題としてまとめておきましょう。

 R上の多変数多項式環はR[X₁,⋯,X_n] = (R[X₁,⋯,X_n－1])[X_n]というように帰納的に定義されましたから、この定理から任意変数の多項式環が一意分解整域であることがわかります。

 一般に多項式の既約性を判定するには複雑な手続きが必要になりますが、ガウスの補題を応用することでアイゼンシュタインEisenstein, Ferdinand Gotthold Max, 1823-1852による簡単な判定法を得ることができます。

参考文献