3.3 正弦・余弦定理
著者:梅谷 武
語句:正弦定理, 第一余弦定理, 第二余弦定理
ベクトルの代数的性質を使って、正弦定理と余弦定理を証明する。
作成:2010-07-18
更新:2011-03-08

命題3.3.1.2 正弦定理

三角形の各頂角の正弦と対辺の比は一定である。すなわち、三角形ABCにおいて∠Aの対辺をa∠Bの対辺をb∠Cの対辺をcとすると次が成り立つ。
(1)
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
α := [BC], β := [CA], γ := [AB]とおく。
 上図より、
α × β = β × γ = γ × α
大きさを比べると
TαTβ sin(π - C) = TβTγ sin(π - A) = TγTα sin(π - B)
これを書き直すと
ab sinC = bc sinA = ca sinB
これをabcで割ると
sinA
a
=
sinB
b
=
sinC
c
この逆比をとれば正弦定理が得られる。

命題3.3.2.1 第一余弦定理

図3.3.1.2において次が成り立つ。
(2)
a = b cosC + c cosB
(3)
b = c cosA + a cosC
(4)
c = a cosB + b cosA

命題3.3.3.1 第二余弦定理

図3.3.1.2において次が成り立つ。
(5)
a2 = b2 + c2 - 2bc cosA
(6)
b2 = c2 + a2 - 2ca cosB
(7)
c2 = a2 + b2 - 2ab cosC
α := [BC], β := [AC], γ := [AB]とおくとα = β - γより、
α ∙ α = (β - γ)(β - γ) = β ∙ β - γ ∙ β - β ∙ γ + γ ∙ γ
内積とベクトル積で展開するとスカラー部だけが残り次のようになる。
〈 α, α 〉 = 〈 β, β 〉 + 〈 γ, γ 〉 - 2〈 β, γ 〉
Published by SANENSYA Co.,Ltd.