幾何学演習 総目次
はしがき
第1章 古典幾何からの準備
1.1 無向量
1.1.1 線長量
1.1.2 面積量
1.1.3 回転量と三角関数
1.1.4 体積量
1.1.5 参考文献
1.2 有向量
1.2.1 ベクトル
1.2.2 アフィン座標
1.2.3 平面ベクトルのノルム
1.2.4 平面ベクトルの内積
命題1.2.4.4 内積の性質
命題1.2.4.5 内積とノルム(I)
命題1.2.4.6 内積とノルム(II)
命題1.2.4.7 シュヴァルツの不等式
定義1.2.4.8 クロネッカーのデルタ
命題1.2.4.9 正規直交性
1.2.5 平面ベクトルの外積
命題1.2.5.6 外積の性質
1.2.6 アフィン標構の向き
1.2.7 空間ベクトルのノルム
1.2.8 空間ベクトルの内積
命題1.2.8.2
命題1.2.8.3 内積とノルム(I)
命題1.2.8.4 内積とノルム(II)
命題1.2.8.5 シュヴァルツの不等式
命題1.2.8.6 正規直交性
1.2.9 空間ベクトルの二項外積
命題1.2.9.2
命題1.2.9.4
1.2.10 空間ベクトルのベクトル積
命題1.2.10.2
命題1.2.10.4
命題1.2.10.6 Grassmann
系1.2.10.7 Jacobi
1.2.11 空間ベクトルの三項外積
命題1.2.11.2
命題1.2.11.6
1.2.12 参考文献
1.3 平面幾何
1.3.1 アフィン幾何
命題1.3.1.3
定理1.3.1.6 アフィン変換群の構造
1.3.2 ユークリッド幾何
合同幾何
命題1.3.2.4 合同変換
命題1.3.2.5
定理1.3.2.7 合同変換群の構造
相似幾何
定義1.3.2.11 相似変換
定理1.3.2.12 相似変換群の構造
等積幾何
定理1.3.2.17 等積変換群の構造
運動幾何
定理1.3.2.22 運動群の構造
1.3.3 アフィン変換群の部分群
1.3.4 参考文献
1.4 立体幾何
1.4.1 アフィン幾何
命題1.4.1.2
定理1.4.1.5 アフィン変換群の構造
1.4.2 ユークリッド幾何
合同幾何
定義1.4.2.4 合同変換
命題1.4.2.5
定理1.4.2.7 合同変換群の構造
相似幾何
定義1.4.2.11 相似変換
定理1.4.2.12 相似変換群の構造
等積幾何
定理1.4.2.18 等積変換群の構造
運動幾何
定理1.4.2.23 運動群の構造
1.4.3 アフィン変換群の部分群
1.4.4 参考文献

第2章 四元数論
2.1 四元数
2.1.1 四元数の定義
命題2.1.1.9 射影演算子
2.1.2 ベクトルの積
命題2.1.2.8 結合律
2.1.3 四元数の積
命題2.1.3.4 多元環
命題2.1.3.5 積の共役
命題2.1.3.6 積のテンソル
2.1.4 ベクトル比と平面比例
図2.1.4.3 ベクトル比
命題2.1.4.5 ベクトル比の比例
補題2.1.4.7
補題2.1.4.9
図2.1.4.12 ベクトル比の左からの作用
命題2.1.4.13 ベクトル比の左からの作用
命題2.1.4.15 ベクトル比の右からの作用
命題2.1.4.17 ベクトル比の共役の左からの作用
命題2.1.4.19 ベクトル比の共役の右からの作用
命題2.1.4.21 四元数の極形式表現
命題2.1.4.24 四元数はベクトル比
2.1.5 参考文献
2.2 空間比例
2.2.1 空間の回転
命題2.2.1.4 空間の回転群
2.2.2 姿勢比と空間比例
2.2.3 物体の運動
2.2.4 参考文献
2.3 補間法
2.3.1 四元数の指数関数と対数関数
命題2.3.1.3
2.3.2 球面線形補間
命題2.3.2.3 slerp公式
命題2.3.2.5 slerpの最短条件
2.3.3 参考文献

第3章 初等幾何
3.1 ベクトルによる方法
3.1.1 位置ベクトル
3.1.2 直線の方程式
命題3.1.2.1 内分点
命題3.1.2.2 二点を結ぶ直線
命題3.1.2.3 三角形の重心
3.2 三角形とベクトル比
3.2.1 二等辺三角形の底角
命題3.2.1.1 二等辺三角形の底角の恒等性
図3.2.1.2 二等辺三角形の底角
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図3.2.1.8 sample301.lua
3.2.2 三角形の内角和
命題3.2.2.1 三角形の内角和
図3.2.2.2 三角形の内角和
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図3.2.2.6 sample302.lua
3.2.3 内角の二等分線
命題3.2.3.1 内角の二等分線
図3.2.3.2 内角の二等分線
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図3.2.3.6 sample303.lua
3.3 正弦・余弦定理
3.3.1 正弦定理
図3.3.1.1 正弦定理
命題3.3.1.2 正弦定理
図3.3.1.4 正弦定理のベクトルによる証明
3.3.2 第一余弦定理
命題3.3.2.1 第一余弦定理
3.3.3 第二余弦定理
命題3.3.3.1 第二余弦定理
図3.3.3.2 第二余弦定理のベクトルによる証明

第4章 球面三角法
4.1 球面三角形
4.1.1 大円
4.1.2 球面三角形
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図4.1.2.4 sample304.lua
4.1.3 極三角形
命題4.1.3.3 極三角形の相反性
命題4.1.3.5 極三角形の辺と角の相補性
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図4.1.3.8 sample305.lua
4.1.4 参考文献
4.2 正弦・余弦定理
4.2.1 四元数と球面三角形
命題4.2.1.2 球面三角形の基本式
命題4.2.1.3 極三角形の基本式
4.2.2 正弦・余弦定理
補題4.2.2.2 スカラー三重積
命題4.2.2.5 球面三角形の正弦定理
命題4.2.2.6 球面三角形の余弦定理
命題4.2.2.7 球面三角形の正弦余弦定理
4.3 応用問題
4.3.1 航海術
例題4.3.1.1 目的地への方位と距離
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図4.3.1.4 sample312.lua
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第5章 運動幾何
5.1 図形の変換
5.1.1 行列による変換
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図5.1.1.5 sample306.lua
5.1.2 オイラー角による変換
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図5.1.2.4 sample307.lua
5.1.3 四元数による変換
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図5.1.3.4 sample308.lua
5.2 物体の変換
5.2.1 物体の属性
5.2.2 位置座標とオイラー角による変換
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図5.2.2.4 sample309.lua
5.2.3 運動軌跡による変換
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5.3 補間による運動表現
5.3.1 球面線形補間法
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動画5.3.1.4 sample311.lua
索引
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