6.7節 岩澤分解
著者:梅谷 武
語句:上三角行列, 剪断, 拡大縮小, 岩澤分解
一般線形群を岩澤分解することによって、アフィン変換を分類する。
作成:2009-09-17
更新:2011-03-08
GL(2,)と同じように、一般線形群GL(3,)の任意の元に右から回転行列を何度かかけることによって上三角行列にすることができ、さらに上三角行列は1,2軸に関する剪断と拡大縮小に分解することができます。
 1,2軸に関する剪断行列全体は一般線形群GL(3,)の部分群を成し、これを剪断群Shear(3)と呼ぶことにします。
Shear(3) = lc96 lb96
1
p
q
0
1
r
0
0
1
rb96 ∈ GL(3,) mid96 p,q,r ∈ rc96
 拡大縮小行列全体は一般線形群GL(3,)の部分群を成します。鏡映を含まないようにするために、拡大縮小のための比例倍は正に限ったものを拡大縮小群Scale(3)と呼ぶことにします。
Scale(3) = lc96 lb96
x
0
0
0
y
0
0
0
z
rb96 ∈ GL(3,) mid96 x,y,z ∈ + rc96
Shear(3) Scale(3)GL(3,)の部分群になっています。
(3,3)正則行列も剪断・拡大縮小・鏡映・回転の積に一意的に分解できます。

定理6.7.2.2 岩澤分解

一般線形群GL(3,)の任意の元は剪断・拡大縮小・鏡映・回転の積に一意的に分解することができる。すなわち、
A = lb96
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
rb96 ∈ GL(3,)
とすると、p,q,r ∈ , x,y,z ∈ +, R ∈ SO(3)が一意的に存在して次のいずれかが成り立つ。
               A
=
lb96
1
p
q
0
1
r
0
0
1
rb96 lb96
x
0
0
0
y
0
0
0
z
rb96 R
A
=
lb96
1
p
q
0
1
r
0
0
1
rb96 lb96
x
0
0
0
y
0
0
0
z
rb96 lb96
-1
0
0
0
1
0
0
0
1
rb96 R
さらに、一般線形群GL(3,)は剪断群Shear(3)、拡大縮小群Scale(3)、鏡映群Ref(3)、回転群SO(3)の直積に位相空間として同相である。
GL(3,) ≅ Shear(3) × Scale(3) × Ref(3) × SO(3)

証明

略■
 これまでにわかっている変換群の包含関係をまとめると次のようになります。
 
 
Affine(U)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equiv(U)
Similar(U)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cong(U)
 
 
 
 
 
 
 
 
Motion(U)
 
 
これらの群は平行移動群Trans(U)との半直積になっているので、その剰余群をとると次のようになります。
 
 
GL(V3,)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eq(V3,)
+×O(V3)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O(V3)
 
 
 
 
 
 
 
 
SO(V3)
 
 
[1] K. Iwasawa, On some types of topological groups, Ann. of Math., vol.50, 507-557, 1949
[2] 小林 俊行, 大島 利雄, Lie群とLie環(岩波講座 現代数学の基礎17), 岩波書店, 1999
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