6.3節 外積とベクトル積
著者:梅谷 武
語句:外積, ベクトル積, 法線ベクトル
空間に付随するベクトル空間上の外積とベクトル積を定義する。
作成:2009-09-16
更新:2011-03-08
 空間内の二つのベクトルa,bの外積abは平面ベクトルの外積を利用して定義します。正規直交座標系(O;e1,e2,e3)により、二つのベクトルa,bが次のように座標表現されているとします。
a = λ1 e1 + μ1 e2 + ξ1 e3 = lb96
λ1
μ1
ξ1
rb96
b = λ2 e1 + μ2 e2 + ξ2 e3 = lb96
λ2
μ2
ξ2
rb96
三つの基底ベクトルの二つから生成される座標平面を考えます。
W23 := e2 + e3V3
W31 := e3 + e1V3
W12 := e1 + e2V3
二つのベクトルa,bのこれらの座標平面への射影を次のように記します。
a23 = μ1 e2 + ξ1 e3b23 = μ2 e2 + ξ2 e3
a31 = ξ1 e3 + λ1 e1b31 = ξ2 e3 + λ2 e1
a12 = λ1 e1 + μ1 e2b12 = λ2 e1 + μ2 e2
各座標平面への射影の外積を計算します。
          a23b23
=
det (a23, b23) e2e3
=
( μ1 ξ2 - ξ1 μ2 ) e2e3 ∈ A23 := e2e3
a31b31
=
det (a31, b31) e3e1
=
( ξ1 λ2 - λ1 ξ2 ) e3e1 ∈ A31 := e3e1
a12b12
=
det (a12, b12) e1e2
=
( λ1 μ2 - μ1 λ2 ) e1e2 ∈ A12 := e1e2
これらの面積量はそれぞれ意味が異なるので別の種類の量と考えます。そして空間ベクトルの外積を次のように定義します。
V3 × V3 longrightarrow A23 ⊕ A31 ⊕ A12,  (a,b) longmapsto ab
ab := a23b23 + a31b31 + a12b12
座標展開すると次のようになります。
          
( μ1 ξ2 - ξ1 μ2 ) e2e3 + ( ξ1 λ2 - λ1 ξ2 ) e3e1 + ( λ1 μ2 - μ1 λ2 ) e1e2
=
μ1
μ2
ξ1
ξ2
e2e3 -
λ1
λ2
ξ1
ξ2
e3e1 +
λ1
λ2
μ1
μ2
e1e2

命題6.3.1.2

空間に付随するベクトル空間V3上の二つのベクトルの外積は双線形かつ交代である。すなわち、次が成り立つ。
(EXT1) ( a + b ) ∧ c = ac + bca,b,cV3
(EXT2) a ∧ ( b + c ) = ab + aca,b,cV3
(EXT3) λ ab = λ ab = a ∧ λ ba,bV3, λ ∈
(EXT4) aa = 0,  aV3
(EXT5) ab = - ba,  a,bV3

証明

略■
 空間内の二つのベクトルabが張る平行四辺形の面積量はaからbへ反時計回りに向かう角度をθとすると次のように表すことができます。
sin θ
a
b
これを座標表現で計算してみます。
          cos θ
=
λ1λ2 + μ1μ2 + ξ1ξ2
λ12 + μ12 + ξ12λ22 + μ22 + ξ22
sin θ
=
1 - cos2 θ
=
lb96
12 + μ12 + ξ12)(λ22 + μ22 + ξ22) - (λ1λ2 + μ1μ2 + ξ1ξ2)2
12 + μ12 + ξ12)(λ22 + μ22 + ξ22)
rb96
1
2
より、線長量の単位をu = e1 = e2 = e3とすると
          
sin θ
a
b
=
12 + μ12 + ξ12)(λ22 + μ22 + ξ22) - (λ1λ2 + μ1μ2 + ξ1ξ2)2  u ⊗ u
=
( μ1 ξ2 - ξ1 μ2 )2 + ( ξ1 λ2 - λ1 ξ2 )2 + ( λ1 μ2 - μ1 λ2 )2 u ⊗ u
となることから、三種類の有向面積量の直和A23 ⊕ A31 ⊕ A12上のノルムを
  
: A23 ⊕ A31 ⊕ A12 longrightarrow A+
λ e2e3 + μ e3e1 + ξ e1e2
:= λ2 + μ2 + ξ2 u ⊗ u
と定めると、abは二つのベクトルa,bを含む平面上でabが張る平行四辺形の面積量に一致します。

命題6.3.1.5

空間内の二つのベクトルa,bの外積abのノルムababが張る平行四辺形の面積量である。
二項外積は座標系に依存しますが、そのノルムは座標系に依存しない量です。
 空間内の二つのベクトルa,bの外積abに線形同型写像
Vec : A23 ⊕ A31 ⊕ A12 longrightarrow V3
λ e2e3 + μ e3e1 + ξ e1e2 longmapsto λ e1 + μ e2 + ξ e3
を合成して作られる空間ベクトル
a × b := Vec( ab )
ベクトル積べくとるせき, vector productと呼びます。これは二つのベクトルa,bを含む平面上でabが張る向き付けられた平行四辺形の法線ベクトルほうせんべくとる, normal vectorになっています。

命題6.3.2.2

空間内の二つのベクトルa,bのベクトル積a × bは、これらのベクトルが張る向き付けられた平行四辺形に直交し、正方向にある。さらに、その単位線長比は平行四辺形の単位面積比に一致する。

証明

直交性は内積を計算するとわかる。
λ1 ( μ1 ξ2 - ξ1 μ2 ) + μ1 ( ξ1 λ2 - λ1 ξ2 ) + ξ1 ( λ1 μ2 - μ1 λ2 )
=
λ2 ( μ1 ξ2 - ξ1 μ2 ) + μ2 ( ξ1 λ2 - λ1 ξ2 ) + ξ2 ( λ1 μ2 - μ1 λ2 ) = 0
正方向であることは各射影平面における正方向成分であることからわかる。■
 ベクトル積a × bは、向き付けられた平行四辺形の法線方向と面積とを同時に表現する空間的量になっています。

命題6.3.2.5

空間に付随するベクトル空間V3上のベクトル積について次が成り立つ。
(VEC1) ( a + b ) × c = a × c + b × ca,b,cV3
(VEC2) a × ( b + c ) = a × b + a × ca,b,cV3
(VEC3) λ a × b = λ a × b = a × λ ba,bV3, λ ∈
(VEC4) a × a = 0aV3
(VEC5) a × b = - b × a,  a,bV3

証明

外積の性質による。■
 ベクトル積は結合的ではありませんが、次の性質によりベクトル空間V3はLie環になります。

命題6.3.2.8 Grassmann

空間に付随するベクトル空間V3上のベクトル積について次が成り立つ。
(1)
a × (b × c) = 〈a,cb - 〈a,bca,b,cV3

証明

略■

系6.3.2.10 Jacobi

空間に付随するベクトル空間V3上のベクトル積について次が成り立つ。
(2)
a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0a,b,cV3
 空間内の三つのベクトルa,b,cの外積abcはそれらが張る平行六面体の有向体積量として定義されます。次の同値な三条件が満たされるときに正方向とし、そうでないときに負方向と定めます。
(1) bcの正方向にaがある。
(2) caの正方向にbがある。
(3) abの正方向にcがある。
この定義により次の性質が成り立つことがわかります。

命題6.3.3.2

空間に付随するベクトル空間V3上の三つのベクトルの外積
V3 × V3 × V3 longrightarrow D,  (a,b,c) longmapsto abc
は多重線形かつ交代であり、右手系の正規直交基底(e1,e2,e3)を定めるとき、その単位をuとすれば次が成り立つ。
e1e2e3 = u ⊗ u ⊗ u

証明

略■
 三つのベクトルa,b,cが次のように座標表現されているとします。
a = λ1 e1 + μ1 e2 + ξ1 e3 = lb96
λ1
μ1
ξ1
rb96
b = λ2 e1 + μ2 e2 + ξ2 e3 = lb96
λ2
μ2
ξ2
rb96
c = λ3 e1 + μ3 e2 + ξ3 e3 = lb96
λ3
μ3
ξ3
rb96
多重線形と交代性より
abc = det (a, b, c) e1e2e3
となり、単位uを使えば、
abc = det (a, b, c) u ⊗ u ⊗ u
と書くことができます。これに測定写像
u-1:D = u ⊗ u ⊗ u longrightarrow ,  a =
a
u ⊗ u ⊗ u
u ⊗ u ⊗ u longmapsto
a
u ⊗ u ⊗ u
を合成することにより、関数det
V3 × V3 × V3 longrightarrow ,  (a,b,c) longmapsto det (a,b,c)
が定まります。これは座標の取り方に依存するようですが、向きを変えない正規直交座標系の座標変換に関して不変です。
 二項外積とベクトルとの外積を多重線形かつ交代となるように自然に拡張すると、例えば次のような計算ができます。
          
(ab) ∧ c
=
lb96 λ3
μ1
μ2
ξ1
ξ2
- μ3
λ1
λ2
ξ1
ξ2
+ ξ3
λ1
λ2
μ1
μ2
rb96 e1e2e3
=
abc
 関数det(3,3)行列に対する行列式を定めます。
M(3,) longrightarrow lb96
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
rb96 longmapsto
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
行列式は乗法群としての準同型写像になっています。

命題6.3.3.7

AB
=
A
B
,  A,B ∈ M(3,)

証明

略■
 体積量表現abcと体積比表現det ( a, b, c )は区別して使うことにします。
数  学
ベクトル積 べくとるせき, vector product
法線ベクトル ほうせんべくとる, normal vector
 
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