6.2節 ノルムと内積
著者:梅谷 武
語句:ノルム, 内積
空間に付随するベクトル空間上のノルムと内積を定義する。
作成:2009-09-16
更新:2011-03-08
 空間に付随するベクトル空間V3に属するベクトルaは空間内の二点P,Qによって、a = [PQ]と表されます。このとき、ベクトルの長さによってノルムを定義します。
a
:= [PQ]

命題6.2.1.2

空間に付随するベクトル空間V3上のノルムは次の性質を満たす。
(N1) a0,  aV3かつa = 0a = 0
(N2) λ a = λ aaV3, λ ∈
(N3) a + ba + ba,bV3

証明

略■
 正規直交座標系(O;e1,e2,e3)を定め、任意のベクトルa
a = μ e1 + ν e2 + ξ e3
と座標表現します。線長量u = e1 = e2 = e3を単位として線分の長さを測るとき、a = λ uとおくと、ピュタゴラスの定理から
λ u ⊗ λ u =
μ
u ⊗
μ
u +
ν
u ⊗
ν
u +
ξ
u ⊗
ξ
u
が成り立ち、テンソル積の双線形性により、
λ2 = μ2 + ν2 + ξ2
となり、
λ = μ2 + ν2 + ξ2
と求めることができます。
 ノルムに単位uによる測定写像
u-1:L = u longrightarrow ,  a =
a
u
u longmapsto u-1(a) =
a
u
を合成すると
V3 longrightarrow +a longmapsto u-1(
a
) = λ = μ2 + ν2 + ξ2
となります。以後、座標表現されている場合は原則として測定写像を合成します。
 空間内の二点P,Qの距離はd(P,Q) = [PQ]によって定義されていましたから
(1)
d(P,Q) =
[PQ]
=
[OP] - [OQ]
が成り立ちます。
 空間内の二つのベクトルa,bの内積は、それらが同一平面上にあることから平面ベクトルの内積と同様に定義することができます。
V3 × V3 longrightarrow A,  (a,b) longmapstoa,b〉 := cos θ
a
b
正規直交座標系(O;e1,e2,e3)を定めたときの内積の座標表現を求めます。二つのベクトルa,bが次のように座標表現されているとします。
                    a
=
λ1 e1 + μ1 e2 + ξ1 e3 = lb96
λ1
μ1
ξ1
rb96
b
=
λ2 e1 + μ2 e2 + ξ2 e3 = lb96
λ2
μ2
ξ2
rb96
このとき余弦定理から次の公式が導かれます。
(2)
cos θ =
λ1λ2 + μ1μ2 + ξ1ξ2
λ12 + μ12 + ξ12λ22 + μ22 + ξ22
線長量の単位uによって
               
a
b
=
λ12 + μ12 + ξ12 u ⊗ λ22 + μ22 + ξ22 u
=
λ12 + μ12 + ξ12 λ22 + μ22 + ξ22 u ⊗ u
と書くことができますから、測定写像
u-1:A = u ⊗ u longrightarrow ,  a =
a
u ⊗ u
u ⊗ u longmapsto
a
u ⊗ u
を合成すると次のようになります。
V3 × V3 longrightarrow ,  (a,b) longmapsto u-1(〈a,b〉) = λ1 λ2 + μ1 μ2 + ξ1ξ2
以後、座標表現されている場合には原則として測定写像を合成します。
a,b〉 = ta b = ( λ1   μ1   ξ1 ) lb96
λ2
μ2
ξ2
rb96 = λ1 λ2 + μ1 μ2 + ξ1ξ2

命題6.2.2.2

空間に付随するベクトル空間V3上の内積は双線形かつ対称、正値である。すなわち、次が成り立つ。
(IN1) a + b, c 〉 = 〈 a, c 〉 + 〈 b, c 〉,  a,b,cV3
(IN2) a, b + c 〉 = 〈 a, b 〉 + 〈 a, c 〉,  a,b,cV3
(IN3) λ 〈 a, b 〉 = 〈 λ a, b 〉 = 〈 a, λ b 〉,  a,bV3, λ ∈
(IN4) a, b 〉 = 〈 b, a 〉,  a,bV3
(IN5) a, a 〉 ≧ 0aV3 かつ a, a 〉 = 0  ⇔  a = 0

証明

略■

命題6.2.2.4 内積とノルム(I)

空間内の任意のベクトルaについて、次が成り立つ。
(3)
a
= a, a

証明

略■

命題6.2.2.6 内積とノルム(II)

空間内の任意のベクトルa,bについて、次が成り立つ。
(4)
a, b 〉 =
1
2
lb48
a + b
a + b
-
a
a
-
b
b
rb48

証明

略■

命題6.2.2.8 シュヴァルツの不等式

空間内の任意のベクトルa,bについて、次が成り立つ。
(5)
a, b
a
b

証明

略■

命題6.2.2.10 正規直交性

空間に付随するベクトル空間V3上の正規直交基底(e1,e2,e3)について、次が成り立つ。
(6)
ei, ej 〉 = δij,  i,j = 1,2,3

証明

略■
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