空間上の距離も平面上の距離と同様に二点を結ぶ線分の線長量によって定義されますが、近傍の定義は円ではなく球を使います。空間U上の点Pと線長量r ∈ L⁺が与えられたとき、Pのr-近傍を によって定義し、これにより空間上に位相を導入します。

 平面幾何における直線図形、すなわち多角形は境界が直線である辺で囲まれた平面図形であり、各辺の端点は頂点と呼ばれました。つまり辺と頂点によって表わすことができました。立体幾何において直線図形に対応するものは多面体です。多面体は境界が多角形である面で囲まれた立体であり、面の境界は辺、辺の端点は頂点です。つまり面と辺と頂点によって表わすことができます。

 直線図形の三角形分割に対応するものは、多面体の四面体分割です。次の定理は以後の議論の前提になります。

 立体図形の等積性を議論する基本は、やはり公理2による合同等積性と公理3による点集合としての包含関係による順序付けです。

 立体図形の分割等積と補充等積は次のように定義されます。

 定義から合同等積ならば分割等積であり、分割等積ならば補充等積であることがわかります。

 Polyhedron = { 空間内の多面体全体 }とし、Polyhedronに属する二つの多面体の体積が等しい、すなわち等積であるということを、どのように定義するかが問題です。平面幾何においてはこの等積性を補充等積と定義しましたが、立体幾何ではこれがうまくいきません。

 原論では平行四辺形を平行六面体に、三角形を四面体に置き換えて体積論を展開していきます。まず第XI巻では、平行六面体に関する分割等積性と比例関係について論じます。

 しかし、第XII巻で議論されている内容は分割等積や補充等積ではうまくいきません。エウドクソスは極限等積の概念を使ってこれらの困難な問題を解いていきます。

 結果的に面積論と同様に、すべての多面体が直方体や立方体に等積変形できることがわかります。

 Polyhedronに属する二つの多面体の体積が等しい、すなわち等積であるということを、それらが極限等積であることと定義します。この関係∼は同値関係であり、これによる商集合D⁺ := Polyhedron/∼を体積という量の集合と考え、これを体積量と呼ぶことにしましょう。任意の多面体に対して、その等積類を対応させる写像Polyhedron → D⁺が定まります。

 立体図形の等積性を極限等積とすることが本質的に必要であることは、1900年にマックス・デーンDehn, Max, 1878-1952により示されました。

 また補充等積ならば分割等積であることも証明されています。

 面積量と同様に体積量も対称テンソル積と考えることができます。 a ⊗ b ⊗ cで直角を挟む三辺の長さがそれぞれ a,b,cであるような直方体の等積類を表すものとします。 とおくと写像 が定まります。これまでの結果から として議論を進めていきます。

 任意の直方体a ⊗ b ⊗ c ∈ D⁺について、 なるd ∈ L⁺が一意的に存在しますが、これは順序集合としての 同型写像 を引き起こします。与えられた立体図形に等積な立方体を求めることを立方化りっぽうかと呼ぶことにします。立方根と同じ記号で表しますが比に関する立方根ではなく、体積量を立方化したときの一辺の長さである線長量を意味しています。

 体積量Dの等積類a ⊗ b ⊗ cに属する直方体の体積を測るとは、単位u ∈ L⁺を定めて、測定対象となる線分の組(a, b, c) ∈ L × L × Lとの比の組(a:u, b:u, c:u)を求めることです。線長量の場合と同様にこれをノルムとして表現します。

 まず、線長量が単位uによって生成される一次元線形空間であることから、次がわかります。

 体積量上のノルムも比例倍を保存します。

 a ⊗ b ⊗ c ∈ L ⊗ L ⊗ Lを単位u ∈ L⁺で表現すると、そのノルムを次のように表現できます。 したがって、ノルムを単位u ∈ L⁺による各成分のノルムの積と定義するとノルムの性質を満たします。これを単位をもつ体積量のノルムと考えることにしましょう。