3.3節 アフィン幾何
著者:梅谷 武
語句:アフィン幾何, 固定部分群
アフィン幾何を定めるアフィン変換群の構造を決定する。
作成:2009-09-07
更新:2011-03-08
 クラインのエルランゲンプログラムに従えば、アフィン幾何あふぃんきか, affine geometryとはアフィン変換群の構造とアフィン変換で不変な性質について調べることです。ここではアフィン変換群の構造を決定します。
 平面(E,V2)上の正規直交座標系(O;e1,e2)を固定して、Affine(E)の元gを前小節のように行列表現するものとします。平面上の平行移動群Trans(E)は次のように行列表現されます。
(1)
Trans(E) = lc96 lb96
1
0
t1
0
1
t2
0
0
1
rb96 mid96  t1, t2 rc96
この任意の二元の積を計算すると
lb96
1
0
t1
0
1
t2
0
0
1
rb96 lb96
1
0
u1
0
1
u2
0
0
1
rb96
=
lb96
1
0
u1
0
1
u2
0
0
1
rb96 lb96
1
0
t1
0
1
t2
0
0
1
rb96
=
lb96
1
0
t1 + u1
0
1
t2 + u2
0
0
1
rb96
となり、Trans(E)Affine(E)の可換な部分群であることがわかります。
 アフィン変換に付随する線形変換全体のなす群
GL(V2,) := lc96 lb96
a11
a12
0
a21
a22
0
0
0
1
rb96 mid96 lb72
a11
a12
a21
a22
rb72 ∈ GL(2,) rc96
を考えます。GL(V2,)V2上の正則な実線形変換全体のなす一般線形群であり、この行列表現によって、原点を固定するアフィン変換全体のなす固定部分群こていぶぶんぐん, stabilizerとしてアフィン変換群Affine(E)に埋め込まれています。
 任意のアフィン変換g
g = lb96
a11
a12
t1
a21
a22
t2
0
0
1
rb96 = lb96
1
0
t1
0
1
t2
0
0
1
rb96 lb96
a11
a12
0
a21
a22
0
0
0
1
rb96
と一意的に分解されます。正則行列であることから
lb72
a11
a12
a21
a22
rb72
-1
= lb72
b11
b12
b21
b22
rb72
とおくと
                         g-1
=
lb96
a11
a12
0
a21
a22
0
0
0
1
rb96
-1
lb96
1
0
t1
0
1
t2
0
0
1
rb96
-1
=
lb96
b11
b12
0
b21
b22
0
0
0
1
rb96 lb96
1
0
-t1
0
1
-t2
0
0
1
rb96
=
lb96
b11
b12
-t1b11-t2b12
b21
b22
-t1b21-t2b22
0
0
1
rb96
gの逆行列、すなわちアフィン変換群Affine(E)におけるgの逆元となります。
s1 = -t1b11 - t2b12, s2 = -t1b21 - t2b22とおくと
                         
lb96
a11
a12
t1
a21
a22
t2
0
0
1
rb96 lb96
1
0
u1
0
1
u2
0
0
1
rb96 lb96
b11
b12
s1
b21
b22
s2
0
0
1
rb96
=
lb96
a11
a12
t1
a21
a22
t2
0
0
1
rb96 lb96
b11
b12
s1+u1
b21
b22
s2+u2
0
0
1
rb96
=
lb96
1
0
a11(s1+u1)+a12(s2+u2)+t1
0
1
a21(s1+u1)+a22(s2+u2)+t2
0
0
1
rb96
となり、Trans(E)Affine(E)の正規部分群になっていることがわかります。

定理3.3.2.5 アフィン変換群の構造

アフィン変換群Affine(E)は、平行移動群Trans(E)に内部自己同型によって一般線形群GL(V2,)を作用させた半直積に同型である。
Affine(E) ≅ Trans(E) ⋊ GL(V2,)

証明

3.1節の半直積分解条件と3.2節のアフィン変換群の分解に関する補題による。条件(1)は
lb96
a11
a12
t1
a21
a22
t2
0
0
1
rb96 = lb96
1
0
t1
0
1
t2
0
0
1
rb96 lb96
a11
a12
0
a21
a22
0
0
0
1
rb96
より、条件(2)は
Trans(E) ∩ GL(V2,) = lc96 lb96
1
0
0
0
1
0
0
0
1
rb96 rc96
[1] 伊原 信一郎, 河田 敬義, 線型空間・アフィン幾何 (岩波基礎数学選書), 岩波書店, 1997
数  学
アフィン幾何 あふぃんきか, affine geometry
固定部分群 こていぶぶんぐん, stabilizer
 
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