2.3節 行列表現
著者:梅谷 武
語句:線形写像, 行列
座標や線形写像を行列表現する技法について述べる。
作成:2009-09-01
更新:2011-03-08
 自然数m,nについて、mn個の体Kの元を縦横を揃えて並べたもの
lb144
a11
a12
a1n
a21
a22
a2n
am1
am2
amn
rb144
(m,n)型の行列ぎょうれつ, matrix、あるいは(m,n)行列といいます。i番目の行
ai1
ai2
ain
を第i行といい、j番目の列
a1j
a2j
amj
を第j行といいます。
 体K上の(m,n)行列全体をM(m,n,K)(n,n)行列全体をM(n,K)と書くことにします。同じ型の行列の和を次のように定義します。
lb96
a11
a1n
am1
amn
rb96 + lb96
b11
b1n
bm1
bmn
rb96 = lb96
a11+b11
a1n+b1n
am1+bm1
amn+bmn
rb96
この和によりM(m,n,K)は加法群になります。Kの元cの行列への作用を次のように定義します。
c lb96
a11
a1n
am1
amn
rb96 = lb96
ca11
ca1n
cam1
camn
rb96
これによりM(m,n,K)K上の線形空間になります。
 列の数と行の数が一致している二つの行列については積を定義することができます。(l,m)型と(m,n)型の行列の積は次のようになります。
lb96
a11
a1m
al1
alm
rb96 lb96
b11
b1n
bm1
bmn
rb96 = lb96
c11
c1n
cl1
cln
rb96
cij =
m

k=1
aikbkj
= ai1b1j + ⋯ + aimbmj1 ≦ i ≦ l, 1 ≦ j ≦ n
V,WK上の線形空間で、それぞれ基底(e1,⋯,en), (u1,⋯,um)をもつものとします。 f:V → WK上の線形写像とすると、
               f(e1)
=
a11 u1 + ⋯ + am1 um
f(en)
=
a1n u1 + ⋯ + amn um
により、(m,n)行列(aij)1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ nが定まります。
x ∈ Vの基底(e1,⋯,en)による表現を
lb144
x1
x2
xn
rb144
y=f(x) ∈ Wの基底(u1,⋯,um)による表現を
lb144
y1
y2
ym
rb144
とすると
lb144
y1
y2
ym
rb144 = lb144
a11
a12
a1n
a21
a22
a2n
am1
am2
amn
rb144 lb144
x1
x2
xn
rb144
が成り立ちます。これを線形写像の行列表現といいます。
 平面(E,V2)において、二つの座標系(O;e1,e2),(O';e1',e2')が与えられたとしましょう。このとき、二つの座標系で表現される二つの座標の間の関係について考えます。
 まず、後の座標系を前の座標系で表しておきます。
      e1'
=
a11 e1 + a21 e2
e2'
=
a12 e1 + a22 e2
O'
=
O + t1 e1 + t2 e2
任意の点Pを与え、その(O;e1,e2)による座標を(p1, p2)(O';e1',e2')による座標を(p1', p2')とします。
           P
=
O + p1 e1 + p2 e2
P
=
O' + p1' e1' + p2' e2'
これらを使うと
            P
=
O + t1 e1 + t2 e2 + p1' e1' + p2' e2'
=
O + t1 e1 + t2 e2 + p1' a11 e1 + p1' a21 e2 + p2' a12 e1 + p2' a22 e2
=
O + ( t1 + p1' a11 + p2' a12 ) e1 + ( t2 + p1' a21 + p2' a22 ) e2
となり、係数を比較することによって次が得られます。
          p1
=
t1 + p1' a11 + p2' a12
p2
=
t2 + p1' a21 + p2' a22
これを行列表現します。
(1)
lb72
p1
p2
rb72 = lb72
t1
t2
rb72 + lb72
a11
a12
a21
a22
rb72 lb72
p1'
p2'
rb72
次のようにまとめて行列表現することもできます。
(2)
lb96
p1
p2
1
rb96 = lb96
a11
a12
t1
a21
a22
t2
0
0
1
rb96 lb96
p1'
p2'
1
rb96
 同じように座標系(O';e1',e2')から(O'';e1'',e2'')への座標変換
(3)
lb96
p1'
p2'
1
rb96 = lb96
b11
b12
u1
b21
b22
u2
0
0
1
rb96 lb96
p1''
p2''
1
rb96
が与えられたとしましょう。このとき、座標変換を合成して座標系(O;e1,e2)から(O'';e1'',e2'')への座標変換を作ることができます。
(4)
lb96
p1
p2
1
rb96 = lb96
a11
a12
t1
a21
a22
t2
0
0
1
rb96 lb96
b11
b12
u1
b21
b22
u2
0
0
1
rb96 lb96
p1''
p2''
1
rb96
二つの変換行列の積が合成した座標変換の変換行列になります。
 もし、(O;e1,e2)(O'';e1'',e2'')が一致していれば、合成した変換行列は単位行列になりますから、逆変換の行列は元の行列の逆行列になることがわかります。
数  学
行列 ぎょうれつ, matrix
 
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